교육통계 - 표준편차, 표준편차와 정상분포곡선의 활용(백분율, 백분위, 백분점수)

 

	교육통계 5	표준편차

 

1. 변산도(變散度)의 의의

1) 변산도란 한 집단의 점수 분포가 흩어져 있는 정도를 나타내 주는 것을 말한다.

2) 이는 한 대표치(집중경향치)를 중심으로 하여 사례들이 어느 정도 밀집 또는 분산되어 있는지를 나타내는 지수이다.

3) 그래서 한 집단이 동질적이면 변산도 지수가 작고, 이질적이면 변산도 지수가 커진다.

 

2. 표준편차(σ)

(1) 표준편차의 계산

표준편차는 분포의 정도를 나타내 주는 것으로 다음과 같이 계산한다.

1) 평균으로부터의 편차의 합이 영이 되는 것을 막기 위해 편차를 제곱하여 합한 다음,

2) 이것을 주어진 사례수 N으로 나눈 것의 제곱근으로 구한다.

3) 이 때 편차들의 제곱의 합을 사례수로 나눈 것을 변량(變量)이라고 하고, 이는 표준편차의 제곱으로 나타낸다.

 

σ ＝ =	σ : 표준편차
	Χ : 원점수
	Μ : 평균

 

(2) 표준편차의 특징

1) 표준편차는 분포 상에 있는 모든 점수의 영향을 받는다

: 표준편차가 모든 점수를 고려하여 계산되기 때문에 점수변화의 민감한 영향을 받게 된다. 특히 극단적으로 높거나 낮은 점수의 영향을 많이 받는다.

2) 표준편차 계산에 사용되는 평균으로부터의 편차점수의 자승화는 다른 임의의 기준 점수로부터 떨어진 점수의 자승화보다 작다.

3) 한 집단의 모든 점수에 일정한 수를 더하거나 빼더라도 표준편차는 변하지 않고 동일하다.

4) 한 집단의 모든 점수에 일정한 수를 곱하면 표준편차도 그 배수만큼 증가한다. 즉 모든 점수에 C 만큼을 곱하면 표준편차도 C 배만큼 증가한다.

5) 표준편차는 집단의 변산도를 나타내 주는 것으로 표준편차가 크면 점수가 넓게 분산되어 있다는 것이므로 집단이 이질적이고, 표준편차가 작으면 집단이 동질적이다.

 

(3) 표준편차의 용도

1) 가장 신뢰로운 변산도를 원할 때

: 예를 들어, 학생들의 완전학습을 위한 교수법을 사용하고 이 교수법의 효과를 알아보고자 할 때 가장 유용한 것이 표준편차이다.

2) 정상분포곡선에 관련된 해석을 원할 때

: 정상분포곡선을 전제로 하는 백분율, 백분위 점수, 표준 점수 등은 평균과 표준편차를 통해 구한다.

3) 극단의 점수가 변산도에 영향을 준다고 여겨져 이로 인한 오차를 줄이고자 할 때

 

 

	교육통계 6	표준편차와 정상분포곡선의 활용

 

1. 정상분포곡선과 표준편차

(1) 정상분포곡선의 특징

1) 정상분포곡선은 좌우대칭적이다.

2) 평균(M)과 중앙치(Mdn), 그리고 최빈치(Mo)가 모두 같다: M=Mdn=Mo

3) 정상분포곡선의 면적은 사례 수를 나타낸다.

(2) 표준편차와 정상분포곡선

주어진 집단의 점수가 정상분포일 경우 그 집단의 평균(M)과 표준편차(σ)를 알면 이 분포상에 어느 정도의 사례수가 있는 지를 알 수 있게 해준다.

1) M± 1σ: 총 사례수의 약 68%(68.28)가 이 점수 사이에 분포된다. 2) M± 2σ: 총 사례수의 약 95%(95.44)가 이 점수 사이에 분포된다. 3) M± 3σ: 총 사례수의 약 99%(99.7)가 이 점수 사이에 분포된다.

 

 

 

2. 백분율, 백분위, 백분점수

(1) 백분율(百分率)

: 백분율은 한 분포에서 어떤 점수 아래에 있는 누계사례수가 전체 사례수에서 차지하는 비율을 나타낸 것이다.

예) 총 사례수가 100인 분포에서 80점 미만까지의 누계사례수가 60인 경우, 즉 점수가 80점 미만인 학생들의 총 수가 60명일 경우, 이는 전체의 60%를 차지하는 것이 되므로 백분율은 60%가 된다.

 

(2) 백분위(점수)

1) 백분위 또는 백분위점수는 백분율에서 %를 없앤 것이다.

2) 즉 위의 예의 경우 백분율이 60%이므로 백분위점수는 60이 된다.

 

(3) 백분점수

1) 백분점수는 백분위에 해당하는 원점수를 가리키는 것이다.

2) 위의 경우 백분위 60에 해당하는 원점수가 80점이므로 백분점수는 80이 된다.

 

(4) 정상분포곡선수표와 백분위 점수

: 한 정상분포에서 평균과 표준편차를 알고 있을 경우 특정 점수가 어느 위치에 있는지를 알 수 있으므로 이 점수의 백분율과 백분위점수를 알 수 있다.

 

예제> 정상분포를 이루는 한 분포에서 M=60, σ=15 인 경우 75점의 백분율, 백분위 점수와 백분점수를 구하라.

<풀이> 1) 먼저 75점이 정상분포곡선수표상 어느 점에 위치하고 있는 지를 알아야 하므로 ｚ를 구한다. : ｚ= (75-60)/15 = 1 2) 75점이 M+1σ에 위치하고 있으므로, M-1σ와 M+1σ사이의 분포도 68에 왼쪽에 남아 있는 분포도 16 %(전체 100 %에서 68 %을 뺀 나머지의 절반)를 합하면, 이 점까지의 누계분포가 나온다. : 68 %+16 % = 84 % 3) 따라서 백분율은 84 %이고, 백분위 점수는 84이고, 백분 점수는 백분위에 해당하는 원점수이므로 75이다. (답) 백분율 84 %, 백분위점수 84, 백분점수 75